Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0，若一個等腰三角形的一邊長為1，另兩邊長恰是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長與面積．

Answer 1

分析：首先根據題意利用因式分解法求得x²-（k+2）x+2k=0的解，又由一個等腰三角形的一邊長為1，利用分類討論思想，根據三角形的三邊關系，即可求得k的值，繼而求得這個等腰三角形的周長與面積．

解答：解：∵x²-（k+2）x+2k=0，
∴（x-k）（x-2）=0，
解得：x₁=2，x₂=k，
∵三角形是等腰三角形，
當k=1時，不能圍成三角形；
當k=2時，周長為5；
如圖：設AB=AC=2，BC=1，
過點A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

，
∴AD=

AB2-BD2

=

15

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×1×

15

2

=

15

4

．
故面積為

15

4

．

點評：此題考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性質以及三角形的三邊關系．此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應用．