Question

（2010•大連一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸相交于A、B兩點，與y軸的正半軸相交于點C，對稱軸l與x軸的正半軸相交于點D，與拋物線相交于點F，點C關于直線l的對稱點為E．
（1）當a=-2，b=4，c=2時，判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
（2）若四邊形CDEF是正方形，且AB=，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a、b、c的值，可確定拋物線的解析式，進而可求出C、F、E點的坐標，連接CE，交DF于P，即可得到CP、DP、EP、FP的長，由此可證得CE、DF互相平分，由此可判定四邊形CDEF是平行四邊形；知道了CP、DP的長，即可用勾股定理求出CD的長，同理可求出CF的長，易證得CD=CF，由此可判定四邊形CDEF是菱形；（也可根據(jù)直線l是C、E的對稱軸，得到CF=EF，由此可判定平行四邊形CDEF是菱形）
（2）若四邊形CDEF是正方形，則OC=DP=CP=EP=PF=c，可據(jù)此表示出F點的坐標，即可用頂點式表示出該二次函數(shù)的解析式，將其化為一般式后，可得到兩個表示C點縱坐標的式子，聯(lián)立兩式可求出a、c的關系式，由此可用a表示出該二次函數(shù)的表達式，進而可用a表示出A、B的坐標，然后根據(jù)AB的長即可求出a的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）結論：四邊形CDEF是菱形（1分）．
∵直線l是拋物線的對稱軸，點C、E關于l對稱，
∴F₂為拋物線的頂點，點E在拋物線上，
∵y=-2x²+4x+2=-2（x²-2x-1）=-2（x-1）²+4，
∴四邊形CDEF各頂點坐標分別為C（0，2），D（1，0），F(xiàn)（1，4），E（2，2），
連接CE交直線于l于點P，則P點坐標為（1，2），
∴CP=PE=1，DP=PF=2，
∴四邊形CDEF是平行四邊形（2分），
在Rt△COD中，CD=，
在Rt△CPF中，CF=，
∴CD=CF，
∴四邊形CDEF是菱形；（3分）

（2）（方法一）∵四邊形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC=c，
∴點F的坐標為（c，2c），（4分）
∴拋物線為y=a（x-c）²+2c=ax²-2acx+ac²+2c，（5分）
∴ac²+2c=c（6分），
∴ac=-1（∵c＞0），
即，（7分）
∴；（8分）
（方法二）設拋物線的頂點F坐標為（h，k），
則y=a（x-h）²+k=ax²-2ahx+ah²+k（4分），
∴c=ah²+k（5分），
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC，
∴，（6分）
解得，（7分）
∴，（8分）
令，
得，（9分）
由AB=，a＜0，
得=，
∴a=-2，（10分）
經(jīng)檢驗，a=-2是原分式方程的解，（11分）
∴所求解析式為．（12分）
點評：此題主要考查了菱形的判定、正方形的性質以及二次函數(shù)解析式的確定，綜合性強，難度較大．