Question

【題目】如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下五個結論：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四邊形AEPF= S△ABC ．
當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），上述結論中始終正確的序號有 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴∠EAP= ∠BAC=45°，AP= BC=CP．①在△AEP與△CFP中，

∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°﹣∠APF，

∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正確；②由①知，△AEP≌△CFP，

∴∠APE=∠CPF．正確；③由①知，△AEP≌△CFP，

∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．正確；④只有當F在AC中點時EF=AP，故不能得出EF=AP，錯誤；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．

∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE= S△ABC．正確．

故正確的序號有①②③⑤．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用全等三角形的性質和等腰三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．