Question

【題目】定義：如果經過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.

（1）判斷（對的打“√”，錯的打“×”）

①等邊三角形存在“和諧分割線”（　 　）

②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”（　 　）

（2）如圖2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，請用尺規畫出“和諧分割線”，并計算“和諧分割線”的長度．

Answer 1

【答案】（1）①×，②√；（2）和諧分割線”的長度為4．

【解析】

（1）根據“和諧分割線”的定義即可判斷；

（2）如圖作∠CAB的平分線，只要證明線段AD是“和諧分割線”即可,并根據直角三角形30°角所對邊是斜邊的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的長度即可.

（1）①因為過等邊三角形任意一頂點，分割的兩個三角形都有一個角小于60°，即不可能是等邊三角形，故等邊三角形不存在“和諧分割線”，不正確，是假命題；

②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，

則這個三角形必存在“和諧分割線”，理由如下：

如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分線交AC于D.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC=,

∵∠ABC=2∠C

∴∠ABD=∠DBC=∠C，

∴BD=DC，△BDC為等腰三角形

∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.

故BD為△ABC的和諧分割線.

正確，是真命題，

故答案為：×，√；

（2）如圖2，作∠CAB的平分線AD，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∴DA＝DB，

∴△ADB是等腰三角形，且∠CAD＝∠DAB＝∠B，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC

∴線段AD是△ABC的“和諧分割線”，

設CD＝x，則BD＝6﹣x，

∵ ，

∴x＝2，

即AD＝BD＝6﹣2＝4；

即和諧分割線”的長度為4．