Question

【題目】如圖，已知∠XOY=60°，點A在邊OX上，OA=2．過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區域（包括各邊）內的一點，過點P作PD∥OY交OX于點D，作PE∥OX交OY于點E．設OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】2≤a+2b≤5．

【解析】

作輔助線，構建30度的直角三角形，先證明四邊形EODP是平行四邊形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的長，計算a+2b=2OH，確認OH最大和最小值的位置，可得結論．

過P作PH⊥OY交于點H，

∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°，

∴EP=OD=a，

Rt△HEP中，∠EPH=30°，

∴EH=EP=a，

∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，

當P在AC邊上時，H與C重合，此時OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；

當P在點B時，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．