Question

【題目】已知：如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A（ 1，0）、B（0，3）兩點，其頂點為D．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若拋物線與x軸的另一個交點為E． 求△ODE的面積；拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短。若存在請求出P點的坐標，若不存在說明理由。

Answer 1

【答案】(1) y= x2+2x+3;(2)6；（3）存在，P（1,2），理由見解析

【解析】試題分析：（1）把A點和B點坐標分別代入y=-x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）通過解方程-x2+2x+3=0得到E點坐標，再把一般式配成頂點式得到D點坐標，然后根據三角形面積公式計算△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點P，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P點坐標．

試題解析：

（1）根據題意得

，解得

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；
（2）當y=0時，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，則E（3，0）；
y=-（x-1）2+4，則D（1，4），
∴S△ODE=×3×4=6；
連接BE交直線x=1于點P，如圖，則PA=PE，
∴PA+PB=PE+PB=BE，
此時PA+PB的值最小，
易得直線BE的解析式為y=-x+3．，
當x=1時，y=-x+3=3，
∴P（1，2）．