Question

如圖，直線AB切⊙O于C點，D是⊙O上一點，∠EDC=30°，弦EF∥AB，連接OC交EF于H點，連接CF，且CF=2，則HE的長為

 

．

Answer 1

分析：如圖，連接OE，CE，由EF∥AB得到∠F=∠BCF，由圓周角定理知∠F=∠D=30°，然后可以推出∠BCF=∠D=30°；而根據切線的性質知道∠OCB=90°，進一步得到∠OCF=60°，從而得到∠CEF=∠BCF=30°，由此推出∠CEF=∠F，點C是弧ECF的中點，所以根據垂徑定理得到OC⊥EF，

CE

=

CF

；然后即可證明△OEC是等邊三角形，最后利用EH=OEsin60°即可求出EH．

解答：解：如圖，
連接OE，CE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BCF，
∴∠F=∠D=30°，
∴∠BCF=∠D=30°；
∵∠OCB=90°，
∴∠OCF=60°，
∴∠CEF=∠BCF=30°，
∴∠CEF=∠F，
則點C是弧ECF的中點，
∴OC⊥EF，

CE

=

CF

，∠EOC=60°；
∵OE=OC，
∴△OEC是等邊三角形，
∴OE=EC=CF=2，
∴EH=OE•sin60°=

3

．

點評：本題利用了切線的概念，平行線的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正弦的概念等知識求解，綜合性比較強．