Question

【題目】某超市為了銷售一種新型“吸水拖把”，對銷售情況作了調查，結果發現每月銷售量y（只）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，所調查的部分數據如表：（已知每只進價為10元，銷售單價為整數，每只利潤＝銷售單價﹣進價）

銷售單價x（元）	20	22	25	…
月銷售額y（只）	300	280	250	…

（1）求出y與x之間的函數表達式

（2）該新型“吸水拖把”每月的總利潤為w（元），求w關于x的函數表達式，并指出銷售單價為多少元時利潤最大，最大利潤是多少元？

（3）由于該新型“吸水拖把”市場需求量較大，廠家又進行了改裝，此時超市老板發現進價提高了m元，當每月銷售量與銷售單價仍滿足上述一次函數關系，隨著銷量的增大，最大利潤能減少1750元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣10x+500（2）當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元（3）10

【解析】

（1）待定系數法求函數解析式．（2）總利潤＝單件利潤×總銷售量，先表示出w，再根據二次函數求最值問題進行配方即可．（3）含參數的二次函數問題，先表示出w，根據最大利潤列式即可求出m．

（1）設y＝kx+b（k≠0），

根據題意代入點（20，300），（25，250），

∴

解得 ，

∴y＝﹣10x+500．

（2）依題意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10x2+600x﹣5000＝﹣10（x﹣30）2+4000，

∵a＝﹣10＜0，

∴當x＝30時，w有最大值4000，

即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）最新利潤可表示為﹣102+600x﹣5000﹣m（﹣10x+500）＝﹣10x2+（600+10m）x﹣5000﹣500m，

∴此時最大利潤為 ＝4000﹣1750，

解得m1＝10，m2＝70，

∵當m＝70時，銷量為負數舍去．

∴m＝10．