Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸，與y軸交于點(diǎn)C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，則下列判斷中正確的是（　　）

A．此拋物線的解析式為y=x²+x﹣2

B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大

C．在此拋物線上的某點(diǎn)M，使△MAB的面積等于5，這樣的點(diǎn)共有三個(gè)

D．此拋物線與直線y=﹣只有一個(gè)交點(diǎn)

　

Answer 1

D【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．

【分析】先確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，則可利用交點(diǎn)式求出拋物線解析式，于是可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；設(shè)M（t，t²﹣t﹣2），根據(jù)三角形面積公式得到×3×|t²﹣t﹣2|=5，再把方程化為t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，然后通過解兩個(gè)方程確定t的值，從而可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過解方程x²﹣x﹣2=﹣可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，

∴OA=1，OB=2，

∴A（﹣1.0），B（2，0），

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x²﹣x﹣2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，

∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)M（t，t²﹣t﹣2），

當(dāng)△MAB的面積等于5，則×3×|t²﹣t﹣2|=5，

∴t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，

∵方程t²﹣t﹣2=有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，而方程或t²﹣t﹣2=﹣沒有實(shí)數(shù)解，

∴滿足條件的M點(diǎn)有2個(gè)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)y=﹣時(shí)，x²﹣x﹣2=﹣，解得x₁=x₂=

∴拋物線與直線y=﹣只有一個(gè)交點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．

故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．