Question

如圖①，已知兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標原點O為位似中心的位似圖形（菱形ABCD與菱形EFGH的位似比為2：1），∠BAD=120°，對角線均在坐標軸上，拋物線y=

1

3

x²經過AD的中點M．
（1）填空：A點坐標為

 

，D點坐標為

 

；
（2）操作：如圖②，固定菱形ABCD，將菱形EFGH繞O點順時針方向旋轉α度角（0°＜α＜90°），并延長OE交AD于P，延長OH交CD于Q．
探究1：在旋轉的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出α的值；若不存在，說明理由；
探究2：設AP=x，四邊形OPDQ的面積為s，求s與x之間的函數關系式，并指出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線y=

1

3

x²經過AD的中點M，設M的坐標為（x，

1

3

x²），由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，因此

x

1 3 x2

=

3

1

，解得x=

3

，x=0（舍去）．因此M點的坐標為（

3

，1）．也就能得出A點的坐標為（0，2），D點的坐標為（2

3

，0）．

（2）探究1：如果四邊形AFEP是平行四邊形，那么首要滿足的條件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必為60°，此時△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等邊三角形，此時∠POD=∠PDO=30°，因此OP=PD=AP，即P為直角三角形OAD斜邊上的中點，由題意可知：此時P，M重合，那么AP=

1

2

AD，已知兩菱形的位似比為2：1，因此EF=

1

2

AD，也就是EF=AP，由此可得出當α=60°時，AP∥=EF，即四邊形APEF是平行四邊形．
探究2：四邊形OPDQ不是規則的四邊形，因此可將其面積分成△OPD和△OQD兩部分進行計算，這兩個三角形中都以OD為底，關鍵是求出兩三角形的高，過P作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，那么OR和QT就是兩三角形的高．先求OR的長，在直角三角形APR中，用AP的長和∠OAP的度數求出AR，進而根據OA的長可求出OR．求QT的長，可通過相似三角形△ORP和△OQT來求出，據此可根據四邊形OPDQ的面積計算方法得出S，x的函數關系式．

解答：解：（1）由題意得
A（0，2），D（2

3

，0）．

（2）探究1：當α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形．
理由如下：
∵兩菱形的位似比為2﹕1，OA=2，OD=2

3

，菱形ABCD邊長為4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的邊長EF=

1

2

AD=2，∠FEO=60°
∵在旋轉過程中EF的長和∠FEO的大小始終不變
∴當射線OE旋轉到經過M點時，P與M重合，AM=AP=2
△AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴當旋轉角度α=∠AOP=60°時，EF平行且等于AP
∴α=60°時，四邊形AFEP為平行四邊形．

探究2：過P點作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，
設TQ=y，
則：PR=AP•sin60°=

3

2

x，
OR=OA-AR=2-AP•cos60°=2-

1

2

x，
OT=OD-DT=2

3

-TQ•tan60°=2

3

-

3

y
∵它繞對稱中心O旋轉時∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴

PR

OR

=

QT

OT

∴

3 2 x

2- 1 2 x

=

y

2 3 - 3 y

，
化簡得：y=

3x

x+2

∴S=S_△OPD+S_△ODQ=

1

2

×2

3

（2-

1

2

x）+

1

2

×2

3

×

3x

x+2

=2

3

-

3

2

x+

3 3 x

x+2

．
即S與x的函數關系式為：S=2

3

-

3

2

x+

3 3 x

x+2

．（0＜x＜4）

點評：本題考查了菱形的性質、直角三角形的性質、圖形的旋轉變換、圖形面積的求法以及二次函數的綜合應用等知識點．綜合性強．