Question

如圖，將兩塊全等的等腰直角△ABC和△A′B′C′（其中∠C=∠C′=90°）的三角板疊放在一起，使點C′在AB的中點上，固定△ABC，將△A′B′C′繞著點C′旋轉．
（1）當點C在A′B′上時（如圖①），求證：兩塊三角板重疊部分（即陰影部分）的四邊形ECFC′是正方形；
（2）將圖①中的△A′B′C′繞著點C′逆時針旋轉某一角度后（例如圖②），點C能否還在A′B′上？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CC′．由△A′B′C′≌△ABC證明CC′⊥A′B′且CC′⊥

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A′B′；根據C′是AB的中點來證明CC′⊥AB，且CC′=

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AB；從而求得A′B′∥AB，再根據平行線的性質求得∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，所以四邊形ECFC′是菱形，又因為∠FCE=90°，所以四邊形ECFC′是正方形；
（2）不能．將問題轉化為CC′繞點C′順時針旋轉某一角度．

解答：解：（1）連接CC′．
∵C′是AB的中點，
∴CC′⊥AB，且CC′=

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AB；
∵△A′B′C′≌△ABC，
∴CC′⊥A′B′，且CC′=

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A′B′，
∴A′B′∥AB，∠A=∠B′CE=45°（4分），
∴∠C′CE=45°，從而∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，CE=C′E=C′F=CF=

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CC′（6分），
∴四邊形ECFC′是菱形，
又∠FCE=90°，
∴四邊形ECFC′是正方形（7分）；

（2）不能（8分），問題中“△A′B′C′繞著點C′逆時針旋轉某一角度”相當于“CC′繞點C′順時針旋轉某一角度”，由于三角形的高最短且唯一，垂線段（三角形的高）最短，所以C將不再在A′B′上（9分）．

點評：本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質及正方形的性質．解答此題時，采用了“轉化的思想”數學思想，即將（2）中的問題轉化為CC′繞點C′順時針旋轉某一角度，然后利用“兩點間垂線段最短的”幾何知識來解答問題．