Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若直線l與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O相切．

理由如下：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠BAC=∠CAM，

∴∠OCA=∠CAM，

∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，

∵OC為半徑，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：∵OC=OA，

∴∠BAC=∠ACO，

∵∠CAB=30°，

∴∠COE=2∠CAB=60°，

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OCtan60°= ．

【解析】（1）連接OC，根據OA=OC，推出∠BAC=∠OCA，求出∠OCA=∠CAM，推出OC∥AM，求出OC⊥CD，根據切線的判定推出即可；（2）根據OC=OA推出∠BAC=∠ACO，求出∠COE=2∠CAB=60°，在Rt△COE中，根據CE=OCtan60°求出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．