Question

【題目】如圖，在△ABC中，AG⊥BC，垂足為點G，點E為邊AC上一點，BE=CE，點D為邊BC上一點，GD=GB，連接AD交BE于點F．

（1）求證：∠ABE=∠EAF；

（2）求證：AE2=EFEC；

（3）若CG=2AG，AD=2AF，BC=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=．

【解析】

（1）首先證明∠EBC=∠C，∠ABD=∠ADB，再根據∠ABD=∠ABE+∠EBC，∠ADB=∠DAC+∠C，可得結論．
（2）證明△AEF∽△BEA可得結論．
（3）設BE交AG于J，連接DJ，DE．證明四邊形AJDE是平行四邊形，推出DE⊥BC，AE=DJ，想辦法求出DJ即可解決問題．

（1）證明：∵EB=EC，

∴∠EBC=∠C，

∵AG⊥BD，BG=GD，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABD=∠ABE+∠EBC，∠ADB=∠DAC+∠C，

∴∠ABE=∠DAC，

即∠ABE=∠EAF；

（2）證明：∵∠AEF=∠BEA，∠EAF=∠ABE，

∴△AEF∽△BEA，

∴，

∴AE2=EFEB，

∵EB=EC，

∴AE2=EFEC；

（3）解：設BE交AG于J，連接DJ，DE．

∵AG垂直平分線段BD，

∴JB=JD，

∴∠JBD=∠JDG，

∵∠JBD=∠C，

∴∠JDB=∠C，

∴DJ∥AC，

∴∠AEF=∠DJF，

∵AD=2AF，

∴AF=DF，

在△AFE和△DFJ中，

，

∴△AFE≌△DFJ（AAS），

∴EF=FJ，AE=DJ，

∵AF=DF，

∴四邊形AJDE是平行四邊形，

∴DE∥AG，

∵AG⊥BC，

∴ED⊥BC，

∵EB=EC，

∴BD=DC=，

∴BG=DG=，

∵tan∠JDG=tan∠C=，

∴JG=，

∵∠JGD=90°，

∴DJ=，

∴AE=DJ=．