Question

【題目】如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線．

（2）如圖2，已知△ABC是特異三角形，且∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數．

（3）如圖3，△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數為整數，請求出其特異線的長度；若它的頂角度數不是整數，請直接寫出頂角度數．

Answer 1

【答案】（1）AE是△ABC是一條特異線

（2）符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°．

（3）若它的頂角度數不是整數，則頂角度數為（）°．

【解析】

試題分析：（1）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．

（2）如圖2中，當BD是特異線時，分三種情形討論，如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC根據等腰三角形性質即可解決問題，當CD為特異線時，不合題意．

（3）如圖3中，當BD是特異線時，分兩種情形討論即可．當AD是特異線時，不合題意．

試題解析：（1）證明：如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一條特異線．

（2）如圖2中，

當BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=DB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．

如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

當CD為特異線時，不合題意．

∴符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°．

（3）如圖3中，

當BD是特異線時，有兩種情形，如果AD=BD=BC，設∠A=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，

設AD=BD=BC=a，

由△BCD∽△ABC得到，

∴，

∴a2+2a﹣4=0，

∴a=﹣1+或﹣1﹣（舍棄）．

如果AD=BC，BC=CD，設∠A=x，則2x+2x+3x=180°解得x=（）°．

當AD是特異線時，如果DA=DB，CA=CD，設∠B=∠C=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，

∴∠BAC=108°，不符合題意．

∴△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數為整數，其特異線的長度為﹣1+，

若它的頂角度數不是整數，則頂角度數為（）°．