Question

認真閱讀材料，然后回答問題：
我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我們依次對（a+b）ⁿ展開式的各項系數進一步研究發現，當n取正整數是可以單獨列成表中的形式：

上面的多項式展開系數表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發現的規律回答下列問題：
（1）多項式（a+b）ⁿ的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數；
（2）請你預測一下多項式（a+b）ⁿ展開式的各項系數之和．
（3）結合上述材料，推斷出多項式（a+b）ⁿ（n取正整數）的展開式的各項系數之和為S，（結果用含字母n的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得當n=1，2，3，4，…時，多項式（a+b）ⁿ的展開式是一個幾次幾項式，第三項的系數是多少，然后找規律，即可求得答案；
（2）首先求得當n=1，2，3，4…時，多項式（a+b）ⁿ展開式的各項系數之和，即可求得答案；
（3）結合（2），即可推斷出多項式（a+b）ⁿ（n取正整數）的展開式的各項系數之和．

解答：解：（1）∵當n=1時，多項式（a+b）¹的展開式是一次二項式，此時第三項的系數為：0=

1×0

2

，
當n=2時，多項式（a+b）²的展開式是二次三項式，此時第三項的系數為：1=

2×1

2

，
當n=3時，多項式（a+b）³的展開式是三次四項式，此時第三項的系數為：3=

3×2

2

，
當n=4時，多項式（a+b）⁴的展開式是四次五項式，此時第三項的系數為：6=

4×3

2

，
…
∴多項式（a+b）ⁿ的展開式是一個n次n+1項式，第三項的系數為：

n(n-1)

2

；

（2）預測一下多項式（a+b）ⁿ展開式的各項系數之和為：2ⁿ；

（3）∵當n=1時，多項式（a+b）¹展開式的各項系數之和為：1+1=2=2¹，
當n=2時，多項式（a+b）²展開式的各項系數之和為：1+2+1=4=2²，
當n=3時，多項式（a+b）³展開式的各項系數之和為：1+3+3+1=8=2³，
當n=4時，多項式（a+b）⁴展開式的各項系數之和為：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多項式（a+b）ⁿ展開式的各項系數之和：S=2ⁿ．

點評：此題屬于規律性、閱讀性題目．此題難度較大，由特殊到一般的歸納方法的應用是解此題的關鍵．