Question

【題目】在現實生活中，我們會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點，且CP=BC，如圖所示．

（1）如圖①，求證：BA=BP；

（2）如圖②，點Q在DC上，且DQ=CP，若G為BC邊上一動點，當△AGQ的周長最小時，求的值；

（3）如圖③，已知AD=1，在（2）的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點F，連接BF，T為BF的中點，M、N分別為線段PF與AB上的動點，且始終保持PM=BN，請證明：△MNT的面積S為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）定值為：．

【解析】

試題分析：（1）如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD=a．通過計算得出AB=BP=a，由此即可證明；

（2）如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最小．設AD=BC=QD=a，則AB=CD=a，可得CQ=CQ′=a﹣a，由CQ′∥AB，推出的值；

（3）如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT=THCK+THBK=HT（KC+KB）=HTBC=HT，利用梯形的中位線定理求出HT即可解決問題；

試題解析：（1）證明：如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD=a．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB==a，∴BA=BP．

（2）解：如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最小．

設AD=BC=QD=a，則AB=CD=a，∴CQ=CQ′=a﹣a，∵CQ′∥AB，∴ = = =．

（3）證明：如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=，DP=CF=﹣1，∵S△MNT=THCK+THBK=HT（KC+KB）=HTBC=HT，∵TH∥AB∥FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT=（FM+BN），∵BN=PM，∴HT=（FM+PM）=PF=（1+﹣1）=，∴S△MNT=HT==定值．