Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O,AO=CO=8,BO=DO=6,點P為線段AC上的一個動點。

⑴ 填空:AD=CD=_____ .

⑵ 過點P分別作PM⊥AD于M點，作PH⊥DC于H點.連結PB,在點P運動過程中，PM+PH+PB的最小值為____________.

Answer 1

【答案】10 15.6

【解析】

(1)在△AOD中，由勾股定理可求得AD=10，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知AD=CD=10；

(2)連接DP，根據題意可知S△ADP+S△CDP=S△ADC，由三角形的面積公式可知ADPM+DCPH=ACOD，將AC、OD、AD、DC的長代入化簡可知PM＋PH為定值9.6，當PB最短時，PM+PH+PB有最小值，由垂線的性質可知當點P與點O重合時，PB有最小值6，即可得解.

解：(1)∵AC⊥BD于點O，

∴△AOD為直角三角形．

∴AD===10．

∵AC⊥BD于點O，AO=CO，

∴AD=CD=10；

(2)如圖所示：連接PD，

∵S△ADP+S△CDP=S△ADC，

∴ADPM+DCPH=ACOD，即×10×PM+×10×PH=×16×6，

∴10×(PM+PH)=16×6，

∴PM+PH=9.6，

∴當PB最短時，PM+PH+PB有最小值．

∵由垂線段最短可知：當BP⊥AC時，PB最短，

∴當點P與點O重合時，PM+PH+PB有最小，最小值=9.6+6=15.6．

故答案為：(1)10；(2)15.6.