Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC為邊向外作△ACD，F為BC上一點，連結AF．

（1）如圖1，若∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，CD＝1，AB＝BF＝2，求FC的長度．

（2）如圖2，若AB＝AC，延長DC交AF延長線于H點，且∠AHD＝90°，∠BCH＝∠CAD，連結BD交AF于M點，求證：CD＝2MH．

Answer 1

【答案】（1）CF＝﹣2；（2）見解析

【解析】

（1）先用30°直角三角形的性質求AD的長，進而可求出AC的長，在△ACB中，BC2＝AB2+AC2，求出BC的長，則CF＝BC﹣BF可求出；

（2）過點B作BN⊥AH，先證明△ABN≌△CAH得AN＝CH，BN＝AH，根據∠BCH＝∠CAD證得△ADH是等腰直角三角形，AH＝DH，再證明△BNM≌△DHM得：HM＝MN，即CD＝2MH．

（1）解：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，CD＝1，

∴AD=2，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴CF＝BC﹣BF＝﹣2．

（2）證明：過點B作BN⊥AH，

∵∠BAC＝90°，∠ANB＝90°，

∴∠CAH＝∠ABN，

在Rt△ABN和Rt△CAH中，

，

∴△ABN≌△CAH（AAS），

∴BN＝AH，AN＝CH，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝45°，

∵∠HCA＝∠CAD+∠ADH，∠HCA＝∠BCH+ACB，∠BCH＝∠CAD，

∴∠ADH＝∠ACB＝45°，

∴AH＝DH，

∴BN＝DH，

在Rt△BNM和Rt△DHM中，

，

∴△BNM≌△DHM（AAS），

∴MH＝MN，

∵AH＝AN+HN，DH＝CH+CD，

∴HN＝CD，

∴CD＝2MH．