Question

【題目】如圖，已知一次函數y1=kx+b圖象與x軸相交于點A，與反比例函數 的圖象相交于B（﹣1，5）、C（ ，d）兩點．點P（m，n）是一次函數y1=kx+b的圖象上的動點．

（1）求k、b的值；
（2）設﹣1＜m＜ ，過點P作x軸的平行線與函數 的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設m=1﹣a，如果在兩個實數m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B點的坐標代入y2= ，得c=﹣5，

則y2=﹣ ，

把x= 代入得y=﹣2，

則C（ ，﹣2）

將B、C代入直線y1=kx+b得：

（2）

解：存在．

令y1=0，x= ，則A的坐標是：（ ，0）；

由題意，點P在線段AB上運動（不含A，B），

設點P（ ，n），

∵DP平行于x軸，

∴D、P的縱坐標都是n，

∴D的坐標是：（﹣ ，n），

∴S= nPD= （ + ）×n=﹣ （n﹣ ）2+ ；

而﹣2m+3=n，得0＜n＜5；

所以由S關于n的函數解析式，所對應的拋物線開口方向決定，當n= ，即P（ ， ），S的最大值是：

（3）

解：由已知P（1﹣a，2a+1），易知，m≠n，1﹣a≠2a+1，a≠0；

若a＞0，m＜1＜n，由題設m≥0，n≤2，

則 ，

解不等式組的解集是：0＜a≤ ；

若a＜0，n＜1＜m，由題設n≥0，m≤2，

則 ，

解得：﹣ ≤a＜0；

綜上：a的取值范圍是：﹣ ≤a＜0，0＜a≤

【解析】（1）B、C兩點在反比例函數圖象上，根據反比例函數圖象上點的橫縱坐標的積相等，可求d的值，將B、C兩點坐標代入y1=kx+b中，列方程組可求k、b的值；（2）存在，根據直線解析式可求A點坐標，點P在直線上，點P（ ，n），PD∥x軸，則D、P的縱坐標都是n，此時，D（﹣ ，n），則PD= + ，由S= nPD，可求△PAD的面積表達式，利用二次函數的性質求最大值；（3）點P（m，n）在一次函數圖象上，由一次函數解析式可知，設m=1﹣a，則P（1﹣a，2a+1），依題意m≠n，可知a≠0，根據a＞0和a＜0兩種情況，分別求實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的一次函數的性質和一次函數的圖象和性質，需要了解一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能得出正確答案．