Question

【題目】在△ABC中，∠A90°，ABAC．

（1）如圖1，△ABC的角平分線BD，CE交于點Q，請判斷“”是否正確：________（填“是”或“否”）；

（2）點P是△ABC所在平面內的一點，連接PA，PB，且PB PA．

①如圖2，點P在△ABC內，∠ABP30°，求∠PAB的大小；

②如圖3，點P在△ABC外，連接PC，設∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）否；（2）①45°；②．

【解析】試題分析：

（1）如圖4，把△AQC順時針旋轉90°得到△AQ1B，連接QQ1，則由題意易得QQ1=AQ，由已知條件可證∠BQ1Q∠Q1BQ，從而可得BQQQ1=AQ；

（2）①如圖5，過點PD⊥AB于點，結合∠ABP=30°可得PD=PB，結合PB=PA可得PD=PA，由此即可得到sin∠PAB=，結合∠PAB是銳角即可得到∠PAB=45°；

②如圖6，把△ABP繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD，連接DC，DP，則由旋轉的性質可得： ∠1=∠2，PB=CD，∠DAP=90°，AD=AP，由此可得PD=PA，結合PB=PA可證得PD=DC，從而得到∠PCD=∠CPD=45°+α，由此可得∠3=180°-2∠CPD=90°-2α，結合∠1=∠2= ，可得∠1+∠3=90°- =∠ADP=45°，變形即可得到： .

試題解析：

（1）如圖4，把△AQC繞點A順時針旋轉90°得到△AQ1B，連接QQ1，

由旋轉的性質可得：AQ1=AQ，∠Q1AQ=90°，

∴QQ1=AQ，

∵BQ、CQ分別平分∠ABC、∠ACB，

∴AQ平分∠BAC，

∴∠AQ1C=∠AQC=112.5°，

∴∠BQ1Q=112.5°-45°=67.5°，

∵∠Q1BQ=45°，

∴∠Q1BQ∠BQ1Q，

∴BQQ1Q=AQ.

故答案為：“否”；

（2）① 如圖5，作PD⊥AB于D，則∠PDB=∠PDA=90°，

∵ ∠ABP=30°，

∴.

∵，

∴.

∴.

又∵∠PAB是銳角，

∴∠PAB=45°.

②，理由如下：

如圖6，把△ABP繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD，連接DC，DP，則由旋轉的性質可得： ∠1=∠2，PB=CD，∠DAP=90°，AD=AP，

∴，∠ADP=∠APD=45°.

又∵，

∴ PD=PB=CD.

∴ ∠DCP=∠DPC.

∵ ∠APCα，∠BPCβ，

∴， .

∴.

∴.

∴.