Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過點A（1，4），對稱軸是直線x=﹣，線段AD平行于x軸，交拋物線于點D．在y軸上取一點C（0，2），直線AC交拋物線于點B，連結OA，OB，OD，BD．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）求點B坐標和坐標平面內使△EOD∽△AOB的點E的坐標；

（3）設點F是BD的中點，點P是線段DO上的動點，問PD為何值時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的？

Answer 1

【答案】(1) y=x2+3x（2）當點E的坐標是（8，﹣2）或（2，﹣8）時，△EOD∽△AOB；（3）PD=或PD=3

【解析】

試題分析：（1）運用待定系數法和對稱軸的關系式求出a、b的即可；

（2）由待定系數法求出直線AC的解析式，由拋物線的解析式構成方程組就可以求出B點的坐標，由相似三角形的性質及旋轉的性質就可以得出E的坐標；

（3）分情況討論當點B落在FD的左下方，點B，D重合，點B落在OD的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質的運用就可以求出結論．

試題解析：1）∵y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過點A（1，4），且對稱軸是直線x=﹣，

∴，

解得：，

∴二次函數的解析式為y=x2+3x；

（2）如圖1，

∵點A（1，4），線段AD平行于x軸，

∴D的縱坐標為4，

∴4=x2+3x，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴D（﹣4，4）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴y=2x+2；

當2x+2=x2+3x時，

解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．

∴y=﹣2．

∴B（﹣2，﹣2）．

∴DO=4，BO=2，BD=2，OA=．

∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，

∴BO2+BO2=BD2，

∴△BDO為直角三角形．

∵△EOD∽△AOB，

∴∠EOD=∠AOB，，

∴∠EOD﹣∠AOB=∠AOB﹣∠AOB，

∴∠BOD=∠AOE=90°．

即把△AOB繞著O點順時針旋轉90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1

∴A1（4，﹣1），

∴E（8，﹣2）．

作△AOB關于x軸的對稱圖形，所得點E的坐標為（2，﹣8）．

∴當點E的坐標是（8，﹣2）或（2，﹣8）時，△EOD∽△AOB；

（3）由（2）知DO=4，BO=2，BD=2，∠BOD=90°．

若翻折后，點B落在FD的左下方，如圖2．

S△HFP=S△BDP=S△DPF=S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，

∴DH=HF，B′H=PH，

∴在平行四邊形B′FPD中，PD=B′F=BF=BD=；

若翻折后，點B，D重合，S△HFP=S△BDP，不合題意，舍去．

若翻折后，點B落在OD的右上方，如圖3，

S△HFP=S△BDP=S△BPF=S△DPF=S△B′PF=S△DHF=S△B′HP

∴B′P=BP，B′F=BF．DH=HP，B′H=HF，

∴四邊形DFPB′是平行四邊形，

∴B′P=DF=BF，

∴B′P=BP=B′F=BF，

∴四邊形B′FPD是菱形，

∴FD=B′P=BP=BD=，根據勾股定理，得

OP2+OB2=BP2，

∴（4﹣PD）2+（2）2=（）2，

PD=3，PD=5＞4（舍去），

綜上所述，PD=或PD=3時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的．