Question

【題目】在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．

（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．

（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1：

【解析】解：（1）證明：如圖1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，

∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB。

∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC。

∵點E為AB的中點，∴AB=2BE。∴AC=BE。

在△ACD與△BEF中，∵，∴△ACD≌△BEF（AAS）。

∴CD=EF，即EF=CD。

（2）如圖2，

作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四邊形EQDH是矩形。∴∠QEH=90°。

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG。，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH。∴EF：EG=EQ：EH。

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°。

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴。∴EQ=BE。

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴。∴EH=AE。

∵點E為AB的中點，∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：。

（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD。

（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值。