Question

【題目】如圖，是一個圓柱形的餅干盒，在盒子外側下底面的點A處有甲、乙兩只螞蟻，它們都想要吃到上底面外側B′處的食物：甲螞蟻沿A→A′→B′的折線爬行，乙螞蟻沿圓柱的側面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都與圓柱的中軸線OO′平行），圓柱的底面半徑是12cm，高為1cm，則：

（1）A′B′=cm，甲螞蟻要吃到食物需爬行的路程長l1=cm；
（2）乙螞蟻要吃到食物需爬行的最短路程長l2=cm（π取3）；
（3）若兩只螞蟻同時出發，且爬行速度相同，在乙螞蟻采取最佳策略的前提下，哪只螞蟻先到達食物處？請你通過計算或合理的估算說明理由．（參考數據：π取3， ≈1.4）

Answer 1

【答案】
（1）12 ；12 +1
（2）5
（3）解：∵l1=12 +1≈12×1.2+1=15.4

∴ =237.16．

∵ = =324，

∴ ．

∴l1＜l2．

∴甲螞蟻先到達食物處

【解析】解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′= A′O′=12 ．
∴l1=A′B′+AA′=12 +1．
故答案為：12 ；12 +1．
2） = =6π=18．
將圓柱體的側面展開得到如圖1所示矩形AA′B′B．

∵ =18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′= = =5 ．
故答案為：5 ．
（1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′為等腰直角三角形，故此A′B′= A′O′，然后根據l1=A′B′+AA′求解即可；（2）先求得弧A′B′的長，然后根據勾股定理求得矩形AA′B′B的對角線的長度即可；（3）將 ≈1.4代入從而可求得l1、l2的近似值，從而可作出判斷．