Question

【題目】問題發現：

（1）如圖①，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD相交于點O，E是AB上點（點E不與A、B重合），將射線OE繞點O逆時針旋轉90°，所得射線與BC交于點F，則四邊形OEBF的面積為　 　．

問題探究：

（2）如圖②，線段BQ＝10，C為BQ上點，在BQ上方作四邊形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，連接DQ，求DQ的最小值；

問題解決：

（3）“綠水青山就是金山銀山”，某市在生態治理活動中新建了一處南山植物園，圖③為南山植物園花卉展示區的部分平面示意圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC為觀賞小路，設計人員考慮到為分散人流和便觀賞，提出三條小路的長度和要取得最大，試求AB+BD+BC的最大值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）5；（3）600（+1）．

【解析】

（1）如圖①中，證明△EOB≌△FOC即可解決問題；

（2）如圖②中，連接BD，取AC的中點O，連接OB，OD．利用四點共圓，證明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根據垂線段最短即可解決問題．

（3）如圖③中，將△BDC繞點D順時針旋轉90°得到△EDA，首先證明AB+BC+BD＝（+1）BD，當BD最大時，AB+BC+BD的值最大．

解：（1）如圖①中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四邊形OEBF＝S△OBC＝S正方形ABCD＝4，

故答案為：4；

（2）如圖②中，連接BD，取AC的中點O，連接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根據垂線段最短可知，當QD⊥BD時，QD的值最短，DQ的最小值＝BQ＝5．

（3）如圖③中，將△BDC繞點D順時針旋轉90°得到△EDA，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，

∴B，A，E三點共線，

∵DE＝DB，∠EDB＝90°，

∴BE＝BD，

∴AB+BC＝AB+AE＝BE＝BD，

∴BC+BC+BD＝（+1）BD，

∴當BD最大時，AB+BC+BD的值最大，

∵A，B，C，D四點共圓，

∴當BD為直徑時，BD的值最大，

∵∠ADC＝90°，

∴AC是直徑，

∴BD＝AC時，AB+BC+BD的值最大，最大值＝600（+1）．