Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，點E是射線AD上的一個動點(不與點A重合)將線段AE繞點A順時針旋轉90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點G，交AD于點H、連接EG．

特例分析:

(1)如圖1，當點E與點D重合時，“智敏”小組提出如下問題，請你解答：

①求證：AF=CD；

②用等式表示線段CG與EG之間的數量關系為：_______；

拓展探究:

(2)如圖2，當點E在線段AD的延長線上，且DE=AD時，“博睿”小組發現CF=2EG．請你證明；

(3)如圖3，當點E在線段AD的延長線上，且AE=AB時，的值為_______；

推廣應用:

(4)當點E在射線AD上運動時，，則的值為______用含m.n的式子表示)．

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②CG=2EG；(2)見解析；(3)；(4)

【解析】

(1)①根據等腰直角三角形的性質證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結論；

②根據①得到BC=2AF，FG=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；

(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；

(3)根據等腰直角三角形的性質得到，證得△AFG△BCG，即可求解；

(4) 根據等腰直角三角形的性質得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．

(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，

∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，

根據旋轉的性質得：AF=AD，∠DAF=90°，

∴∠GAF=∠GAD=45°，

在△AFG和△ADG中，

，

∴△AFG△ADG，

∴AF=AD，

∴AF=CD；

②CG=2EG，理由如下：

由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，

∴AF∥BC，2AF=BC，

∴△AFG△BCG，

∴，

∴CG=2FG，

∵△AFG△ADG，

∴FG=DG，即FG=EG，

∴CG=2EG；

(2) 連接EB、EC，

∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，DE=AD，

∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，

∴四邊形ABEC為正方形，

∴BC=AE，

根據旋轉的性質得：AF=AE，∠EAF=90°，

∴∠GAF=∠GAE=45°，

在△AFG和△AEG中，

，

∴△AFG△AEG，

∴AF=AE=BC，FG= EG，

在△AFG和△BCG中，

，

∴△AFG△BCG，

∴FG= CG，

∴FG= CG= EG，

∴CF=2EG；

(3) 同理得：FG= EG，

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴，即，

同理得：△AFG△BCG，

∴，

∴，

∴，

∴；

(4)同理可得：FG= EG，BC=2AD，AF=AE，

∵，

∴，

同理可得：△AFG△BCG，

∴，

∴，

∴，

∴；