Question

【題目】已知拋物線y=x2+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點坐標是（　　，　　），對稱軸是　 　；

（2）如圖1，已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；

（3）如圖，在第二問的基礎上，在拋物線上有一點C（x，y），連接AC、OC、BC、PC，當△OAC的面積等于△BCP的面積時，求C的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）（2）（2，4）（3）

【解析】分析：

（1）由二次函數的圖象和性質進行解答即可；

（2）由△PAB是等邊三角形，PB⊥x軸易得∠ABO=30°，結合∠AOB=90°，AO=2可得AB=4，OB= ，由此可得點P的坐標為；

（3）如下圖2所示，設點C的坐標為（x，y），則S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），由S△AOC=S△BCP列出方程，解方程即可求得點C的坐標.

詳解：

（1）∵ 拋物線的頂點坐標為（0，k），對稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）；

（2）∵△PAB是等邊三角形，PB⊥x軸于點B，

∴∠APB=60°，∠OBP=90°，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=2OA=4．

∴PB=4，

∴P（2，4），

∵在中，當時，，

∴點P（2，4）在拋物線上，

∴符合要求的點P的坐標為（2，4）；

（3）下圖2所示，設點C的坐標為（x，y），則S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），

∵S△AOC=S△BCP，OA=2，PB=4，

∴ ，

解得： ，

∴C的橫坐標是 .