Question

平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE=CF．求證：∠DPA=∠DPC．（初二）

Answer 1

分析：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S_△ADE=

S平行四邊形ABCD

2

=S_△DFC，可得：

AE•PQ

2

=

AE•PQ

2

，又∵AE=FC，可得DQ=DG，可得∠DPA=∠DPC（角平分線逆定理）．

解答：證明：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并連接DF和DE，如右圖所示：
則S_△ADE=

S平行四邊形ABCD

2

=S_△DFC，
∴

AE•DQ

2

=

DG•FC

2

，
又∵AE=FC，
∴DQ=DG，
∴PD為∠APC的角平分線，
∴∠DPA=∠DPC（角平分線逆定理）．

點評：本題考查平行四邊形和角平分線的性質，有一定難度，解題關鍵是準確作出輔助線，利用角平分線的性質進行證明．