Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常數，且a≠0），過點（0，2）．

（1）求c的值，并通過計算說明點（2，4）是否也在該拋物線上；

（2）若該拋物線與直線y＝5只有一個交點，求a的值；

（3）若當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c＝2，說明見解析；（2）a的值是或；（3）﹣≤a＜0．

【解析】

（1）根據拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常數，且a≠0），過點（0，2），可以得到c的值，然后將x＝2代入拋物線解析式，即可得到y的值，從而可以判斷點（2，4）是否也在該拋物線上；

（2）根據該拋物線與直線y＝5只有一個交點，可知該拋物線頂點的縱坐標是5，從而可以求得a的值；

（3）根據當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，可知a＜0，該拋物線的對稱軸≥2，從而可以求得a的取值范圍．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常數，且a≠0），過點（0，2），

∴c＝2，

∴拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+2，

當x＝2時，

y＝4a+2（1﹣2a）+2＝4a+2﹣4a+2＝4，

即點（2，4）在該拋物線上；

（2）∵拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+2，該拋物線與直線y＝5只有一個交點，

∴＝5，

解得，a＝，

即a的值是或；

（3）∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，拋物線y＝ax2+（1﹣2a）x+2，

∴a＜0，≥2，

解得，a，

即a的取值范圍是﹣≤a＜0．