Question

【題目】定義：若一個三角形一條邊上的高長為這條邊長的一半，則稱該三角形為這條邊上的“半高”三角形，這條高稱為這條邊上的“半高”，如圖，△ABC是BC邊上的“半高”三角形．點P在邊AB上，PQ∥BC交AC于點Q，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N，連接MQ．

（1）請證明△APQ為PQ邊上的“半高”三角形．

（2）請探究BM，PM，CN之間的等量關系，并說明理由；

（3）若△ABC的面積等于16，求MQ的最小值

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）2PM＝BM+CN，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）根據平行相似，證明△APQ∽△ABC，利用相似三角形對應邊的比等于對應高的比：，由“半高”三角形的定義可結論；

（2）證明四邊形PMNQ是矩形，得PQ＝MN，PM＝KR，代入AR＝BC，可得結論；

（3）先根據△ABC的面積等于16，計算BC和AR的長，設MN＝x，則BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），根據勾股定理表示MQ，配方可得最小值．

（1）證明：如圖，過A作AR⊥BC于R，交PQ于K，

∵△ABC是BC邊上的“半高”三角形，

∴AR＝BC，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴AK＝PQ，

∴△APQ為PQ邊上的“半高”三角形．

（2）解：2PM＝BM+CN，理由是：

∵PM⊥BC，QN⊥BC，

∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，

∴四邊形PMNQ是矩形，

∴PQ＝MN，PM＝KR，

∵AK＝PQ，AR＝BC，

∴AK+RK＝（BM+MN+CN），

PQ+PM＝BM+MN+CN，

∴2PM＝BM+CN；

（3）解：∵△ABC的面積等于16，

∴＝16，

∵AR＝BC，

＝16，

BC＝8，AR＝4，

設MN＝x，則BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），

∵MQ＝，

∴當x＝時，MQ有最小值是．