Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF交邊DC于點G．

（1）求證：DGBC＝DFBG；

（2）連接CF，求∠CFB的大小；

（3）作點C關于直線DE的對稱點H，連接CH，FH．猜想線段DF，BF，CH之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CFB＝45°；（3）BF＝CH+DF，理由見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質得到∠BCD=90°，證明∠BGC=∠DGF，得到△BGC∽△DGF，根據相似三角形的性質證明結論；
（2）連接BD，證明△BGC∽△DGF，根據相似三角形的性質得到∠BDG=∠CFG，根據正方形的性質解答；
（3）在線段FB上截取FM，使得FM=FD，連接DM，證明△BDM∽△CDF，得到BM=CF，根據等腰直角三角形的性質得到CH=CF，證明結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵BF⊥DE，

∴∠DFG＝90°，

∴∠BCD＝∠DFG，

∵∠BGC＝∠DGF，

∴△BGC∽△DGF，

∴，

∴DGBC＝DFBG；

（2）解：如圖1，連接BD，

∵△BGC∽△DGF，

∴，

∴，

∵∠BGD＝∠CGF，

∴△BGD∽△CGF，

∴∠BDG＝∠CFG，

∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，

∴∠BDG＝∠ADC＝45°，

∴∠CFB＝45°；

（3）解：BF＝CH+DF，

理由如下：如圖2，在線段FB上截取FM，使得FM＝FD，連接DM，

∵∠BFD＝90°，

∴∠MDF＝∠DMF＝45°，DM＝DF，

∵∠BDG＝45°，

∴∠BDM＝∠CDF，

∵△BGD∽△CGF，

∴∠GBD＝∠DCF，

∴△BDM∽△CDF，

∴，

∴BM＝CF，

∵∠CFB＝45°，BF⊥DE，

點C關于直線DE的對稱點H，

∴∠EFH＝∠EFC＝45°，

∴∠CFH＝90°，

∵CF＝FH，

∴CH＝CF，

∴BM＝CH，

∴BF＝BM+FM＝CH+DF．