Question

設△A₁B₁C₁的面積是S₁，△A₂B₂C₂的面積為S₂（S₁＜S₂），當△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且0.3≤

S1

S2

≤0.4時，則稱△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂有一定的“全等度”．如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，連接AC．
（1）若AD=DC，求證：△DAC與△ABC有一定的“全等度”；
（2）你認為：△DAC與△ABC有一定的“全等度”正確嗎？若正確，說明理由；若不正確，請舉出一個反例說明．

Answer 1

分析：（1）先過點D作DE⊥AC，交AC于E，利用AD∥BC，AD=DC，∠BCD=60°，可證∠DAC=∠ACD=∠ACB=30°，那么△ABC和△DAC中就有兩組對應角相等，即可求它們相似．可以設DE=x，由于∠DAC=30°，所以AD=2x，AE=

3

x，那么利用等腰三角形三線合一定理，可知AC=2

3

x=AB，于是S_△DAC：S_△ABC=DA：AB=（

2x

2 3 x

）²=1：3，而0.3≤

1

3

≤0.4，所以兩三角形有一定的全等度；
（2）不正確，舉出反例進行論證其錯誤即可．比如可令∠ACB=40°，則∠ACD=20°，∠DAC=40°，∠BAC=110°，∠ADC=120°，顯然兩個三角形不相似，當然就不存在全等度了．

解答：（1）證明：∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠BCD=60°
∴∠ACD=∠ACB=30°
∵∠B=30°
∴∠DAC=∠B=30°
∴△DAC∽△ABC
過點D作DE⊥AC于點E，
∵AD=DC
∴AC=2EC
在Rt△DEC中
∵∠DCA=30°，cos∠DCA=

EC

DC

=

3

2

∴DC=

2

3

EC
∴

DC

AC

=

1

3

∴

S△DAC

S△ABC

=（

DC

AC

）²=

1

3

≈0.33，
∵0.3≤

S△DEC

S△ADC

≤0.4
∴△DAC與△ABC有一定的“全等度”．

（2）解：△DAC與△ABC有一定的△“全等度”不正確．
反例：若
∠ACB=40°，則△DAC與△ABC不具有一定的“全等度”．
∵∠B=30°，∠BCD=60°，
∴∠BAC=110°
∵AD∥BC
∴∠D=120°
∴△DAC與△ABC不相似
∴若∠ACB=40°，則△DAC與△ABC不具有一定的“全等度”．

點評：本題利用了等邊對等角的性質、平行線的性質、三角函數值、相似三角形的判定、相似三角形的面積比等于相似比的平方等知識．