Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點坐標為M（1，0），直線與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為（3，－4），B點在y軸上．

（1）求m的值及這個二次函數的解析式；

（2）在x軸上找一點Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點坐標；

（3）若P（t，0）是x軸上的一個動點，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數的圖象交于D、E兩點．

①設線段DE的長為h，當0＜t＜3時，求h與t之間的函數關系式；

②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,m=-1;（2） (,0);（3）① ；

② 存在,理由見解析.

【解析】分析：（1）設拋物線的解析式為y=，將A點坐標分別代入拋物線和直線的解析式，即可求出拋物線的解析式和m的值；（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點關于x軸的對稱點B′，當A、Q、B′三點在一條直線上時，△QAB的周長最小，求得直線AB'的解析式，即可求得點Q的坐標；（3）①根據P點坐標分別表示出D、E兩點坐標，即可求出h與t之間的函數關系式；② 存在，分拋物線在直線上方時和拋物線在直線下方時兩種情況求點P的坐標.

詳解：

(1)∵二次函數圖象的頂點M(1, 0), ∴二次函數可表達為y=

又∵圖象過A（3，－4），∴=-4，解得a=-1,

∴二次函數解析式為： ,

A(3,－ 4)在直線y = －x + m上：-3+m=-4,m=-1；
（2）由得B(0,-1)，
B關于x軸的對稱點為B'(0, 1)
設直線AB'的解析式為:y=kx+1，將A（3，－4）代入得：-4=3k+1，解得k=- ,

∴y=-，令y=0，得x=,
∴ (,0)，此時A、Q、在一條直線上，所以 ,

即△QAB的周長最小， (,0),

（3）直線AB的解析式為：y=-x-1，拋物線為： ,

①∵0＜t＜3，∴h=-t+2t-1-(-t-1)=-t+3t ；
② 存在
∵ M(1,0)∴N(1,-2)，∴MN=2， MN//DE,∴只要DE=MN=2即可

1）當拋物線在直線上方時，由-t+3t =2，解得t=1或t=2,

當t=1時MN與DE重合，舍去，所以t=2，此時P(2,0),
2）當拋物線在直線下方時，由t+3t =2，解得，

此時和，綜上所述P點共有：

，，共三個