Question

【題目】如圖，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，動點P、Q同時從點B出發，動點P沿BA以1個單位長度/秒的速度向點A移動，動點Q沿BC以2個單位長度/秒的速度向點C移動，運動時間為t秒．連接PQ，將△QBP繞點Q順時針旋轉90°得到△，設△與△ABC重合部分面積是S．

（1）求證：PQ∥AC；

（2）求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意可得出，繼而可證明△BPQ∽△BAC，從而證明結論；

（2）由題意得出QP`⊥AC，分三種情況利用相似三角形的判定及性質討論計算．

解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6

∴

∵∠B=∠B

∴△BPQ∽△BAC

∴∠BPQ=∠A

∴PQ∥AC

（2）∵BP=t

BQ=2t

∴P`Q=

∵AB=3 BC=6

∴AC=3

∵PQ∥AC

∴QP`⊥AC

當0<t≤時，S=t2

當<t≤1時：

設QP`交AC于點M

P`B`交AC于點N

∴∠QMC=∠B=90°

∴△QMC∽△ABC

∴

∴

∴QM=

∵P`Q=t

∴P`M=

又∵∠P`=∠BPQ=∠A

∴△P`NM∽△ACB

∴

∴MN=2P`M

∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=

∴

當1<t≤3時

設QB`交AC于點H

∵∠HQM=∠PQB

∴△HMQ∽△PBQ

∴

∴MH=MQ

∴

綜合上所述：