Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接AC、OD交于點E．

（1）求證：OD∥BC；

（2）若AC＝2BC，求證：DA與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）利用SSS可證明△OAD≌△OCD，可得∠ADO＝∠CDO，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得DE⊥AC，由AB是直徑可得∠ACB=90°，即可證明OD//BC；

（2）設BC＝a，則AC=2a，利用勾股定理可得AD=AB=，根據中位線的性質可用a表示出OE、AE的長，即可表示出OD的長，根據勾股定理逆定理可得∠OAD=90°，即可證明DA與⊙O相切．

（1）連接OC，

在△OAD和△OCD中，，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，

∵AD＝CD，

∴DE⊥AC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）設BC＝a，

∵AC＝2BC，

∴AC＝2a，

∴AD＝AB＝＝＝a，

∵OE∥BC，且AO＝BO，

∴OE為△ABC的中位線，

∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，

在△AED中，DE＝＝＝2a，

∴OD=OE+DE=，

在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（）2＝a2，

∴AO2+AD2＝OD2，

∴∠OAD＝90°，

∵AB是直徑，

∴DA與⊙O相切．