Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝AC，點P是 的中點，連結PA，PB，PC.

(1)如圖(a)，若∠BPC＝60°，求證：AC＝AP；

(2)如圖(b)，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．

　　　 　

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）tan∠PAB＝.

【解析】

（1）利用已知條件易證△ABC為等邊三角形，所以∠ACB=60°，因為點P是弧AB的中點，所以∠ACP=30°，進而證明AC=AP；
（2）①由等腰三角形的性質可得∠BAC=2∠CAF，由圓周角定理可得∠FOC=2∠CAF，進而可證明∠FOC=∠BAC；
②過點E作EG⊥AC于G，連接OC，設FC=24a，則OC=OA=25a，因為OF=7a，AF=32a．在Rt△AFC中，AC2=AF2+FC2，所以AC=40a，進而可求出tan∠PAB的值．

解：(1)證明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°.

又∵AB＝AC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵點P是的中點，

∴∠ACP＝30°，

又∵∠APC＝∠ABC＝60°，

∴AC＝AP.

(2)如圖，連結AO并延長交PC于點E，交BC于點F，過點E作EG⊥AC于點G，連結OC.

∵AB＝AC，

∴AF⊥BC，BF＝CF.

又∵點P是的中點，

∴∠ACP＝∠PCB，

∴EG＝EF.

∵∠BPC＝∠BAC，

又∵∠BAC＝∠FOC，

∴∠BPC＝∠FOC，

∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝.

設FC＝24a，則OC＝OA＝25a，

∴OF＝7a，AF＝32a.

在Rt△AFC中，AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝40a.

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ，

∴ ，∴EG＝12a.

∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝.