Question

【題目】如圖，已知A（2，4），以A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)交x軸于B．

（1）求拋物線解析式；

（2）取OA上一點(diǎn)D，以OD為直徑作⊙C交x軸于E，作EF⊥AB于F，求證EF是⊙C的切線；

（3）設(shè)⊙C半徑為r，EF＝m，求m與r的函數(shù)關(guān)系式及自變量r的取值范圍；

（4）當(dāng)⊙C與AB相切時，求⊙C半徑r的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x．（2）詳見解析；（3）；（4）

【解析】

（1）已知了拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式來設(shè)二次函數(shù)的解析式，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）要證EF是圓C的切線，那么可連接CE，證CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需證明CE∥AB即可得出EF是切線的結(jié)論，那么OC=CE，根據(jù)拋物線的對稱性可得OA=AB，由這兩組相等的線段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得證；

（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通過三角函數(shù)來解，根據(jù)A，O，B的坐標(biāo)不難得出∠AOB，∠ABO的正弦值，那么可過C作OB的垂線，垂足為M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的長表示出OM，也就求出了OE，進(jìn)而可表示出BE的長，然后在直角三角形BFE中，根據(jù)∠ABO的正弦值用BE表示出BF，由此可得出關(guān)于m，r的函數(shù)關(guān)系式；

（4）如果⊙C與AB相切，設(shè)切點(diǎn)為G，那么如果連接CG，四邊形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根據(jù)（3）中m，r的函數(shù)關(guān)系式，將m=r代入（3）的函數(shù)關(guān)系式中即可求出r的值．

（1）設(shè)y＝a（x﹣2）2+4，由于拋物線過原點(diǎn)（0，0），則有0＝4a+4，

即a＝﹣1．

因此拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x；

（2）連CE，

則∠COE＝∠CEO，

根據(jù)A是拋物線的頂點(diǎn)，可知OA＝AB，即∠AOB＝∠OBA，

∴∠OEC＝∠ABO，

∴CE∥AB，又EF⊥AB，

∴CE⊥EF，

∴EF是⊙C的切線；

（3）分別過C、A作OB的垂線，垂足分別為M、N，

直角三角形OAN中，cos∠AOB＝，

因此：OM＝，OE＝2OM＝，EB＝4﹣，

∴（0＜r＜）；

（4）設(shè)⊙C切AB于點(diǎn)G，

連接CG，則CG⊥AB，

∴∠CGF＝∠EFG＝∠CEF＝90°，

∴四邊形CEFG為矩形，

又CE＝CG，

∴四邊形CEFG為正方形，

∴EF＝r，

∴m＝r①，

由（3）得，

解得r＝．