Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，以AB為直徑的圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AB＝12，求FG的長；

（3）在（2）問條件下，求點D到FG的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接OD，證明OD∥AC，易得OD⊥DF；

（2）先求出CD的長，再利用△CDF是30°的直角三角形可求出CF的長，同理可利用△FGA中∠A的三角函數可求得FG的長；

（3）過D作DH⊥AB于H，利用△BDH是30°的直角三角形可求出BH的長，同理可求得AG，然后根據GH=AB-AG-BH求得即可.

（1）證明：連結OD，如圖1，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠C＝∠A＝∠B＝60°．

而OD＝OB，

∴△ODB是等邊三角形，∠ODB＝60°，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線．

（2）解：∵OD∥AC，點O為AB的中點，

∴OD為△ABC的中位線．

∴BD＝CD＝6．

在Rt△CDF中，∠C＝60°，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝3．

∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，

在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，

∴FG＝AF×sinA＝9×＝．

（3）解：如圖2，過D作DH⊥AB于H．

∵FG⊥AB，DH⊥AB，

∴FG∥DH，

在Rt△BDH中，∠B＝60°，

∴∠BDH＝30°，

∴BH＝BD＝3，

在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，

∴AG＝AF＝，

∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣﹣3＝，

∴點D到FG的距離是．