Question

【題目】已知x1，x2 是關于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個實數根．

（1）求x1，x2 的值；

（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）x1 = p，x2 = m + 2－p；

（2）當且m＞－2時，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為（或）．

【解析】試題分析：（1）化簡方程，用分解因式法求出兩根；

（2）直角三角形的面積為x1x2，利用根與系數的關系可以得到關于p的關系式，然后利用二次函數可以求出什么時候有最大值．

試題解析：（1） 原方程變為：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，

∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，

（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，

即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，

∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．

（2）∵ 直角三角形的面積為x1x2=p(m+2-p)

=

=

=，

∴ 當且m＞－2時，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為（或）．