Question

【題目】如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，連接．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，已知點(diǎn)在線段的上方（不包括點(diǎn)和點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，求線段的最大值；

（3）該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．

【解析】

（1）把，點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線解析式組成三元一次方程組，解方程組，即可得拋物線的系數(shù)a、b、c的值，代入拋物線解析式即可．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以設(shè)，而的直線方程為，所以，所以，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得PE的最大值為；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由題意求得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證出是等腰直角三角，從而求得，設(shè)，①當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或在之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，，，所以，列方程解即可得P的坐標(biāo)；②當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)在之間或在點(diǎn)右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號(hào)，列方程即可得P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（1）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

∴

∴

∴拋物線解析式為

（2）設(shè)，的直線方程為

∴，∴

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為

（3）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∴

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形∴

∴

∴

∴

設(shè)

①當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或在之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)

∴，

∴

解得：，,

或

②當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)在之間或在點(diǎn)右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號(hào)

∴

解得：，

∴或

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．