Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過B（3，0）、C（0，3）兩點，

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）直接寫出，當y≥3時，x的取值范圍是_____；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M點，使△MOB是等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）0≤x≤2；（3）M（1， ）或（1，﹣）或（1，2）或（1，﹣2）．

【解析】試題分析：（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法可求得其解析式；

（2）由解析式可求得其對稱軸，求出點C關于對稱軸的對稱點，再結合函數圖象即可得出y≥3時，x的取值范圍；

（3）可設M點坐標為（1，t），根據兩點間的距離公式分別表示出BM、OM和OB的長度，再分BM=BO、OM=OB和MB=MO三種情況分別得到關于t的方程，求得t的值，則可求得M點的坐標．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過B（3，0）、C（0，3）兩點，∴，解得： ，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴對稱軸為x=1，∴C（0，3）關于對稱軸的對稱點坐標為（2，3），∴當y≥3時，x的取值范圍是0≤x≤2．故答案為：0≤x≤2；

（3）由（2）可知拋物線對稱軸為x=1，設M（1，t）．∵B（3，0），O（0，0），∴BM2=4+t2，OM2=1+t2，OB2=9．∵△MOB為等腰三角形，∴有BM=BO、OM=OB和MB=MO三種情況，①當BM=BO時，即4+t2=9，解得t=±，此時M點坐標為（1， ）或（1，﹣）；

②當OM=OB時，即1+t2=9，解得t=±2，此時M點坐標為（1，2）或（1，﹣2），③當MB=MO時，即4+t2=1+t2，無實數根．

綜上所述：存在滿足條件的M點，其坐標為（1， ）或（1，﹣）或（1，2）或（1，﹣2）．