Question

【題目】如圖1拋物線y=ax2+bx+c過 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點．

（1）求拋物線解析式；
（2）點C，D關于拋物線對稱軸對稱，求△BCD的面積；
（3）如圖2，過點E（1，﹣1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內某點旋轉180°得△MNQ（點M、N、Q分別與A、E、F對應）使得M、N在拋物線上，求M、N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=ax2+bx+c過 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，

∴可設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，2）代入得2=a（0+1）（0﹣4），解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：拋物線對稱軸為x=﹣ =﹣ = ，

∵點 C（0，2），D關于拋物線對稱軸對稱，

∴D（3，2），

∴CD=3，

∴S△BCD= CDOC= ×3×2=3

（3）

解：∵A（﹣1，0），E（1，﹣1），EF⊥x軸于點F，

∴AF=2，EF=1

如圖2，由旋轉知△MNQ≌△AEF，

∴MQ=AF=2，NQ=EF=1，

且MQ∥x軸，NQ⊥x軸，

設N（m，n），則M（m+2，n﹣1），

代入拋物線解析式y=﹣ x2+ x+2，

得 ，解得 ，

∴M（3，2），N（1，3）

【解析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得拋物線對稱軸，可求得D點坐標，則可求得△BCD的面積；（3）由旋轉知△MNQ≌△AEF，設N點坐標為（m，n），則可表示出M點坐標，把M、N的坐標代入拋物線解析式可得到關于m、n的方程組，可求得m、n的值，則可求得M、N的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．