Question

【題目】如圖，D為Rt△ABC斜邊AB上一點，以CD為直徑的圓分別交△ABC三邊于E、F、G三點，連接FE，FG．
（1）求證：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4 ，D為AE的中點，求FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接EC，如圖1所示．

∵CD為直徑，

∴∠AEC=90°，

∴∠BCE+∠B=90°．

∵∠BCE+∠ECA=90°，

∴∠B=∠ECA．

又∵∠ECA=∠EFG，

∴∠EFG=∠B

（2）解：在Rt△BCA中，AC=4 ，BC=2 ，

∴AB= =10．

∵BCAC=ABCE，

∴CE=4．

∵tan∠A= = = ，

∴AE=2CE=8．

在Rt△DCG中，CE=4，ED= AE=4，

∴CD= =4 ．

連接FD、DG，如圖2所示．

∵CD是直徑，

∴∠CFD=∠CGD=90°，

又∵∠FCG=90°，

∴四邊形FCGD為矩形，

∴FG=CD=4 ．

【解析】（1）連接EC，則∠AEC=90°，由同角的余角相等即可得出∠B=∠ECA，再根據圓周角定理即可得出∠ECA=∠EFG，由此即可證出∠EFG=∠B；（2）由AC、BC的長度利用勾股定理即可求出AB的長度，結合面積法即可得出CE的長度，由正切即可得出AE的長度，再利用勾股定理可求出CD的長度，連接FD、DG，由矩形的判定定理即可證出四邊形FCGD為矩形，利用矩形的性質即可得出FG=CD，此題得解．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．