Question

我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”.利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：如圖1，在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連結OA、OC. 顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”.

（1）試說明直線AE是“好線”的理由；
（2）如圖2，AE為一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出經過F點的“好線”，只需對畫圖步驟作適當說明（不需要說明“好線”的理由）.

Answer 1

（1）∵AO是△ABD的中線，∴AO平分△ABD的面積，
同理，CO平分△CBD的面積，于是，折線AOC平分四邊形ABCD的面積.
若記四邊形ABCD的面積為S，有S_{四邊形OABC}＝S.
∵OE∥AC，∴S_△OAC＝S_△EAC……………………………………………… (1分)
∴S_{四邊形EABC}＝S_△EAC＋S_△ABC＝S_△OAC＋S_△ABC＝S_{四邊形OABC}＝S……………(2分)
∴直線AE是四邊形ABCD的一條好線. ……………………………………(3分)
（2）連結EF，過點A作EF的平行線，交CD于點P，作直線PF，
則直線PF即為所要求作的好線.……………………………………(5分)

（1）設AE與OC的交點是F．要說明直線AE是“好線”，根據已知條件中的折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，只需說明三角形AOF的面積等于三角形CEF的面積．則根據兩條平行線間的距離相等，結合三角形的面積個數可以證明三角形AOE的面積等于三角形COE的面積，再根據等式的性質即可證明；
（2）根據兩條平行線間的距離相等，只需借助平行線即可作出過點F的“好線”．