Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，點E從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B移動，同時，點F從點B出發，沿BC方向以2cm/s的速度向點C移動，當點F到達點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，△BEF的面積為5cm²？
（2）當t為何值時，△BEF與△ABD相似？

Answer 1

分析 （1）用t表示出BE及BF的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）分△BEF∽△ABD與△BEF與△ADB兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）∵AB=5cm，BC=7cm，點E從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B移動，同時，點F從點B出發，沿BC方向以2cm/s的速度向點C移動，
∴BE=5-t，BF=2t．
∵△BEF的面積為5cm²，
∴$\frac{1}{2}$BF•BE=5，即$\frac{1}{2}$×2t×（5-t）=5，解得t₁=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
答：當t=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$時，△BEF的面積為5cm²；

（2）∵BE=5-t，BF=2t，
∴當△BEF∽△ABD時，$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BF}{AD}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{7}$，解得t=$\frac{35}{17}$；
當△BEF與△ADB時，$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BF}{AB}$，即$\frac{5-t}{7}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{19}$．
綜上所述，當t為$\frac{35}{17}$秒或$\frac{25}{19}$秒時，BEF與△ABD相似．

點評 本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．