Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．動點P從點O出發，以每秒個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．設運動的時間為t秒，PQ2＝y．

（1）直接寫出y關于t的函數解析式及t的取值范圍：　 　；

（2）當PQ＝時，求t的值；

（3）連接OB交PQ于點D，若雙曲線（k≠0）經過點D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（3）經過點D的雙曲線（k≠0）的k值不變，為．

【解析】

（1）過點P作PE⊥BC于點E，由點P，Q的出發點、速度及方向可找出當運動時間為t秒時點P，Q的坐標，進而可得出PE，EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關于t的函數解析式（由時間=路程÷速度可得出t的取值范圍）；
（2）將PQ=代入（1）的結論中可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論；
（3）連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，求得點D的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值，此題得解．

解：（1）過點P作PE⊥BC于點E，如圖1所示．

當運動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（4-t，3），
∴PE=3，EQ=|4-t-t|=|4-t|，
∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4-t|2=t2-20t+25，
∴y關于t的函數解析式及t的取值范圍：y＝t220t+25(0≤t≤4)；
故答案為：y＝t220t+25(0≤t≤4)．
（2）當PQ＝時，t220t+25＝()2
整理，得5t2-16t+12=0，
解得：t1=2，t2＝．
（3）經過點D的雙曲線y＝ (k≠0)的k值不變．
連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，如圖2所示．

∵OC=3，BC=4，
∴OB＝＝5．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴ ，
∴OD=3．
∵CB∥OA，
∴∠DOF=∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝ ，cos∠OBC＝＝，
∴OF＝ODcos∠OBC＝3×＝，DF＝ODsin∠OBC＝3×＝，
∴點D的坐標為(，)，
∴經過點D的雙曲線y＝(k≠0)的k值為×＝．．