Question

【題目】已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí)，則有結(jié)論：S△PBC=S△PAC+S△PCD

理由：過點(diǎn)P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)．

∵S△PBC+S△PAD=BCPF+ADPE=BC（PF+PE）=BCEF=S矩形ABCD．

（1）請(qǐng)補(bǔ)全以上證明過程．

（2）請(qǐng)你參考上述信息，當(dāng)點(diǎn)P分別在圖1、圖2中的位置時(shí)，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）猜想結(jié)果：圖2結(jié)論S△PBC=S△PAC+S△PCD； 圖3結(jié)論S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，證明見解析.

【解析】

分析圖2，先過點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，利用三角形的面積公式可知，經(jīng)過化簡，等量代換，可以得到S△PBC=S△PAD+S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．

（1）證明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD,

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；

（2）猜想結(jié)果：圖2結(jié)論S△PBC=S△PAC+S△PCD； 圖3結(jié)論S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．

證明：如圖，過點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)．

∵S△PBC=BCPF=BCPE+BCEF

=ADPE+BCEF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．