Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，B點的坐標為（6，0），點M為拋物線上的一個動點．

（1）若該二次函數圖象的對稱軸為直線x＝4時：

①求二次函數的表達式；

②當點M位于x軸下方拋物線圖象上時，過點M作x軸的垂線，交BC于點Q，求線段MQ的最大值；

（2）過點M作BC的平行線，交拋物線于點N，設點M、N的橫坐標為m、n．在點M運動的過程中，試問m+n的值是否會發生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出m+n的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣8x+12；②線段MQ的最大值為9．（2）m+n的值為定值．m+n＝6．

【解析】

（1）①根據點B的坐標和二次函數圖象的對稱軸即可求出二次函數解析式；

②設M（m，m2﹣8m+12），利用待定系數法求出直線BC的解析式，從而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的長與m的函數關系式，然后利用二次函數求最值即可；

（2）將B（6，0）代入二次函數解析式中，求出二次函數解析式即可求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，根據一次函數的性質設出直線MN的解析式，然后聯立方程結合一元二次方程根與系數的關系即可得出結論．

（1）①由題意，

解得，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣8x+12．

②如圖1中，設M（m，m2﹣8m+12），

∵B（6，0），C（0，12），

∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+12，

∵MQ⊥x軸，

∴Q（m，﹣2m+12），

∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時，QM有最大值，最大值為9．

（2）結論：m+n的值為定值．

理由：如圖2中，

將B（6，0）代入二次函數解析式中，得

解得：

∴二次函數解析式為

∴C（0，﹣36﹣6b），

設直線BC的解析式為y＝kx﹣36﹣6b，

把（6，0）代入得到：k＝6+b，

∴直線BC的解析式為y＝（6+b）x﹣36﹣6b，

∵MN∥CB，

∴可以假設直線MN的解析式為y＝（6+b）x+b′，

由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，

∴x1+x2＝6，

∵點M、N的橫坐標為m、n，

∴m+n＝6．

∴m+n為定值，m+n＝6．