Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在CD邊上，點F在DC延長線上，AE=BF．
（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．

∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．

∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF．

∴∠1=∠F．

∴AE∥BF．

∵AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形

（2）解：∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠1=90°．

∵∠BEF=∠DAE，

∴∠BEF+∠1=90°．

∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，

∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，

AB= ．

∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=5

【解析】（1）欲證明四邊形ABFE是平行四邊形，只要證明AE∥BF，EF∥AB即可．（2）先證明△AEB是直角三角形，再根據勾股定理計算即可．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質和矩形的性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．