Question

問題1：同學們已經體會到靈活運用乘法公式給整式乘法及多項式的因式分解帶來的方便，快捷．相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．
例：用簡便方法計算195×205．
解：195×205
=（200-5）（200+5）①
=200²-5²②
=39975
（1）例題求解過程中，第②步變形是利用______（填乘法公式的名稱）；
（2）用簡便方法計算：9×11×101×10001．
問題2：對于形如x²+2ax+a²這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）²的形式．但對于二次三項式x²+2ax-3a²，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x²+2ax-3a²中先加上一項a²，使它與x²+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a²，整個式子的值不變，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a²-4a-12．
問題3：若x-y=5，xy=3，求：①x²+y²；②x⁴+y⁴的值．

Answer 1

解：問題1：（1）平方差公式；

（2）9×11×101×10001=（10-1）（10+1）（100+1）（10000+1），
=（100-1）（100+1）（10000+1），
=（10000-1）（10000+1），
=99999999；

問題2：a²-4a-12=a²-4a+4-16=（a-2）²-16=（a+2）（a-6）；

問題3：①x²+y²=（x-y）²+2xy=25+6=31；

②x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=31²-2×3²=961-18=943．
分析：在問題1的（2）中，可以連續運用平方差公式；
在問題2中，要運用配方法，只要二次項系數為1，只需加上一次項系數一半的平方即可配成完全平方公式；
在問題3中，只需把代數式化成差與積的形式，再代值計算．
點評：本題考查了平方差公式，公式法分解因式，特別注意問題3的計算方法，如果已知兩個數的差與積，要盡量運用配方法把要求的代數式變為差與積的形式，再代值計算，同時3中的②小題可運用①中已求出的值，這樣簡便了運算．