Question

【題目】已知點和點在拋物線上．

（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點坐標，并求出的值；

（Ⅱ）求點關于軸對稱點的坐標，并在軸上找一點，使得最短，求此時點的坐標；

（Ⅲ）平移拋物線，記平移后點的對應點為，點的對應點為，點是軸上的定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，最短，求此時拋物線的解析式；

②是軸上的定點，當拋物線向左平移到某個位置時，四邊形的周長最短，求此時拋物線的解析式（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ），頂點坐標為，；（Ⅱ）的坐標是；（Ⅲ）①；②．

【解析】

（Ⅰ）把(-4，8)代入y=ax2可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，根據二次函數的性質可得定點坐標；

（Ⅱ）由點的坐標，得點關于軸的對稱點的坐標為．連接AP交x軸于點Q，此時最短，用待定系數法求出直線AP的解析式，求得AP與x軸的交點即為Q的坐標；

（Ⅲ）①A′C+CB′最短，說明拋物線向左平移了線段CQ的距離，根據平移的規律即可求出平移后的解析式；

②設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．將點B′向左平移2個單位得B′′(-b，2)，點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-b，-8)，用含b的代數式表示出直線A′′B′′的解析式，將點D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，求出b即可．

解：（Ⅰ）∵點在拋物線上，

得，解得，

∴該拋物線的解析式為，

∴拋物線的頂點坐標為．

∵點在拋物線上，

得．

（Ⅱ）由點的坐標，得點關于軸的對稱點的坐標為．連接AP交x軸于點Q，此時最短，

設直線的解析式為，

則解得

∴直線的解析式是．

令，得，

∴點的坐標是．

根據“兩點之間，線段最短” 此時點滿足題意．

（Ⅲ）①，

故將拋物線向左平移個單位長度時，最短．

此時拋物線的解析式為．

②∵線段A′B′和CD的長是定值，

∴要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

設拋物線向左平移了b個單位，

則點A′和點B′的坐標分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

∵CD=2，

∴將點B′向左平移2個單位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，

點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-b，-8)，

設直線A′′B′′的解析式為y=mx+n，

則，

∴m=，n=b+2，

∴直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2．

要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，

將點D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，

-10+b+2=0，

解得b=，

∴將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，

此時拋物線的函數解析式為y=(x+)2．